برای حل این سوال، ما باید در نظر بگیریم که چه زمانی میتوانیم از ریشهٔ سوم یک عدد منفی و توانهای زوج یا فرد استفاده کنیم.
فرض کنیم \( r \) هو دو مقداری اختیار کند:
1. \( r \) زوج:
در این حالت، اگر \( a \) مقداری منفی باشد، \(( -a )^r\) مقداری مثبت خواهد شد و بنابراین ریشهٔ سوم آن نیز مثبت خواهد بود که با \( a \) همخوانی ندارد.
2. \( r \) فرد:
در این حالت، وقتی که \( r \) فرد است، \(( -a )^r\) مقداری منفی خواهد شد و ریشهٔ سوم آن نیز منفی خواهد شد. بنابراین ریشهٔ سوم \(( -a )^r\) برابر با \( -a \) خواهد شد که با گزینه سوم همخوانی دارد.
بنابراین، جواب درست برای هر مقدار \( a \) زیر گزینه ۳ است:
\[
\sqrt[3]{(-a)^r} = -a
\]
