برای پیدا کردن تعداد ارقام عبارت \( 250^{20} \times 8^{12} \)، باید ابتدا مقدار این عبارت را به صورت نمایی ساده کنیم و سپس از آن برای پیدا کردن تعداد ارقام استفاده کنیم.
1. **فاکتور کردن عددها:**
- عدد 250 را میتوان به صورت \( 250 = 25 \times 10 = 5^2 \times 10 \) نوشت و سپس \( 10 \) را به صورت \( 10 = 2 \times 5 \) نیز نوشت:
\[
250 = 5^2 \times (2 \times 5) = 5^3 \times 2^1
\]
- بنابراین:
\[
250^{20} = (5^3 \times 2^1)^{20} = 5^{60} \times 2^{20}
\]
2. **اکنون برای عدد 8:**
- عدد 8 را میتوان به صورت \( 8 = 2^3 \) نوشت.
- بنابراین برای \( 8^{12} \):
\[
8^{12} = (2^3)^{12} = 2^{36}
\]
3. **بنابراین میتوانیم بنویسیم:**
\[
250^{20} \times 8^{12} = (5^{60} \times 2^{20}) \times 2^{36} = 5^{60} \times 2^{56}
\]
4. **جمع کردن و ساده کردن:**
- حالا داریم:
\[
5^{60} \times 2^{56}
\]
5. **برای پیدا کردن تعداد ارقام، میتوانیم از فرمول استفاده کنیم:**
تعداد ارقام یک عدد \( n \) برابر است با \( \lfloor \log_{10}(n) \rfloor + 1 \).
- پس:
\[
n = 5^{60} \times 2^{56} = 10^{56} \times 5^{4}
\]
که از آنجا که \( 10^{56} \) اولین قسمت است، تعداد ارقام آن = 56 + تعداد ارقام \( 5^4 \) است.
6. **محاسبه \( 5^4 \):**
\[
5^4 = 625 \quad \text{که 3 رقم دارد.}
\]
7. **در نهایت:**
بنابراین تعداد ارقام کل عبارت:
\[
56 + 3 = 59
\]
نتیجه نهایی این است که عبارت \( 250^{20} \times 8^{12} \) دارای 59 رقم است.
