برای حل نامعادله \(\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 9} \leq 0\)، مراحل زیر را دنبال میکنیم:
1. **صورت و مخرج را تجزیه کنید:**
- صورت: \(x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)\)
- مخرج: \(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\)
2. **نقاط بحرانی را پیدا کنید:**
- \(x-1 = 0 \Rightarrow x = 1\)
- \(x-2 = 0 \Rightarrow x = 2\)
- \(x-3 = 0 \Rightarrow x = 3\)
- \(x+3 = 0 \Rightarrow x = -3\)
3. **فواصل را مشخص کنید و علامت هر بخش را تعیین کنید:**
- فواصل بحرانی: \((-∞, -3)\), \((-3, 1)\), \((1, 2)\), \((2, 3)\), \((3, ∞)\)
تحلیل علامت در هر فاصله:
- \((-∞, -3)\): (+) / (-)
- \((-3, 1)\): (-) / (-)
- \((1, 2)\): (-) / (+)
- \((2, 3)\): (+) / (+)
- \((3, ∞)\): (+) / (-)
4. **نقاطی که نامعادله در آنها معتبر است:**
- در فواصل \((-3, 1)\) و \((1, 2)\) نامعادله صحیح است.
5. **نتیجه:**
- نامعادله در فواصل \([-3, 1) \cup (1, 2]\) برقرار است.
توجه: در نقاط \(x = 1\) و \(x = 3\) عبارت تعریف نشده و نقطه \(x = 2\) را شامل میشود زیرا تساوی برقرار است.
