برای اینکه حاصلضرب اعضای مجموعهی \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \) به یک مربع کامل تبدیل شود، باید تعداد عوامل اول در تجزیهی هر عدد به صورت زوج باشد.
ابتدا تعداد عوامل اول هر عدد را بررسی میکنیم:
- \( 1 = 1 \)
- \( 2 = 2 \)
- \( 3 = 3 \)
- \( 4 = 2^2 \)
- \( 5 = 5 \)
- \( 6 = 2 \times 3 \)
- \( 7 = 7 \)
- \( 8 = 2^3 \)
- \( 9 = 3^2 \)
- \( 10 = 2 \times 5 \)
حالا عوامل اول کل مجموعه را به صورت زیر محاسبه میکنیم:
- توان \( 2 \): \( 1 + 0 + 0 + 2 + 0 + 1 + 0 + 3 + 0 + 1 = 8 \) (زوج)
- توان \( 3 \): \( 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 2 + 0 = 4 \) (زوج)
- توان \( 5 \): \(
