برای مثلث متساویالساقین \( \triangle ABC \) داریم:
1. طبق فرضیه، ضلعهای \( AB \) و \( AC \) برابر هستند، بنابراین \( AB = AC \).
2. \( AM \) نیمساز زاویه \( \angle A \) است، بنابراین زاویه \( \angle BAM \) با زاویه \( \angle CAM \) برابر است، یعنی \( \angle BAM = \angle CAM \).
3. طبق قضیه نیمساز در مثلث متساویالساقین، \( BM = MC \).
با توجه به شرایط متساویالساقینی و نیمساز زاویه، دو مثلث \( \triangle ABM \) و \( \triangle ACM \) از نظر SSA (ضلع-زاویه-ضلع) با هم همنهشتاند. بنابراین:
\[ \triangle ABM \cong \triangle ACM \Rightarrow BM = MC \]
پس برابر بودن \( BM \) و \( MC \) ثابت شد.
