برای اثبات اینکه اگر از دایرهای که مرکز آن \( O \) است، بر یک وتر \( AB \) عمود کنیم، آنگاه وتر و کمان آن نصف میشود، مراحل زیر را دنبال میکنیم:
1. **موقعیت هندسی:** فرض کنید دایرهای به مرکز \( O \) و شعاع \( r \) داریم. وتر \( AB \) را در دایره ترسیم کنید. فرض کنید به یک نقطهی میانی به نام \( M \) بر روی وتر \( AB \) عمود کنیم. همچنین \( OM \) را عمود بر وتر از \( O \) ترسیم میکنیم.
2. **نقطهی تقاطع:** به دلیل اینکه \( OM \) عمود بر \( AB \) است، \( M \) نقطهی میانی وتر \( AB \) خواهد بود.
3. **استفاده از مثلثهای مشابه:** با اتصال نقاط \( O \)، \( A \) و \( B \) مثلث \( OAB \) را تشکیل میدهیم. همچنین مثلث \( OMA \) و مثلث \( OMB \) را در نظر میگیریم. با توجه به ویژگیهای ارتفاع در مثلث، در اینجا \( OM \) به مانند ارتفاع عمل میکند.
4. **کنندههای مشابه:** چون \( OM \) عمود بر \( AB \) و \( M \) نقطهی میانی وتر است، بنابراین \( AM = MB \). این به ما میگوید که هر یک از نیمههای وتر برابرند.
5. **کمان:** حالا برای کمان \( AB \)، میدانیم که با کشیدن خط \( OM \) به نقطهی میانی بخش فاصل بین نقطهی شرق و غرب (یعنی\( A \) و \( B \))، کمان به دو نیمه تقسیم میشود. زیرا هر قسمت از وتر متناظر با یک قسمت از کمان است که \( OA \) و \( OB \) را به دو بخش برابر تقسیم میکند.
6. **نتیجهگیری:** بنابراین، مشخص میشود که اگر از دایرهای بر یک وتر عمود کنیم، وتر به دو قسمت مساوی تقسیم میشود و کمان نیز به دو قسمت مساوی تقسیم میشود.
این اثبات نشان میدهد که فرض ما درست است و به نتیجهی مطلوب رسیدیم.
