برای حل این سوال، ابتدا حروف کلمه "DAMAVAND" را بررسی میکنیم. این کلمه دارای حروف زیر است:
- D
- A
- M
- A
- V
- A
- N
- D
که پس از حذف تکرار، حروف منحصر به فرد آن به صورت زیر است: D, A, M, V, N.
توجه داشته باشید که در این سوال میخواهیم کلماتی ۴ حرفی بسازیم که فقط حرف A دوبار تکرار شود. بنابراین باید ۲ حرف از حروف D, M, V, N را انتخاب کنیم.
### مراحل حل:
1. **انتخاب حروف**:
از بین حروف D, M, V, N، ۲ حرف را انتخاب میکنیم. تعداد انتخابهای ممکن برای این کار برابر با ترکیب ۴ تا ۲ است:
\[
\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6
\]
به این ترتیب، ما ۶ ترکیب مختلف از دو حرف به دو حرف دیگر انتخاب کردهایم.
2. **ساخت کلمات**:
حالا برای هر ترکیب ساخته شده که شامل ۲ حرف به علاوه ۲ حرف A است، تعداد کلمات ۴ حرفی ممکن را محاسبه میکنیم.
ما ۴ حرف داریم (دو A و دو حرف دیگر) که میتوانیم آنها را جا به جا کنیم. تعداد حالتهای ممکن برای جا به جایی این ۴ حرف برابر است با:
\[
\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12
\]
(تعداد ۲! به خاطر تکرار حرف A است.)
3. **محاسبه کل کلمات**:
حالا تعداد کل کلمات ۴ حرفی را با ضرب تعداد ترکیبها و تعداد ترتیبها بدست میآوریم:
\[
\text{تعداد کل کلمات} = 6 \text{ (تعداد ترکیبها)} \times 12 \text{ (تعداد ترتیبها)} = 72
\]
بنابراین، تعداد کلمات ۴ حرفی که میتوان با حروف کلمه "DAMAVAND" نوشت و فقط حرف A دوبار تکرار شود، برابر با **72** است.
