برای حل این سوال، ابتدا به معادلات ارائهشده دقت میکنیم.
1. **تعریف \( p(n,r) \)**:
\( p(n,r) \) تعداد روشهایی است که میتوان r عنصر را از n عنصر به ترتیب انتخاب کرد. فرمول محاسباتی این به صورت زیر است:
\[
p(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}
\]
در اینجا \( p(n,1) = 210 \)، بنابراین میتوان نوشت:
\[
p(n,1) = n = 210
\]
2. **تعریف \( c(n,r) \)**:
\( c(n,r) \) تعداد روشهایی است که میتوان r عنصر را از n عنصر بدون توجه به ترتیب انتخاب کرد. فرمول محاسباتی این به صورت زیر است:
\[
c(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}
\]
در اینجا \( c(n,n) = 35 \) که به این معنی است که تعداد راههای انتخاب n عنصر از n عنصر برابر 35 است. اما طبق تعریف \( c(n,n) = 1 \) زیرا تنها یک راه برای انتخاب تمام n عنصر وجود دارد.
بنابراین، با توجه به این بررسی، به نظر میآید که اطلاعات ارائه شده ممکن است نادرست یا متناقض باشد زیرا \( c(n,n) \) نمیتواند 35 باشد. فاکتورهای دیگری باید بررسی شوند.
در نتیجه:
- بازگشت به معادلات:
برای \( p(n,1) = 210 \)، به ازای n=210، صادق است. ولی برای \( c(n,n) \) تعریفی که ارائه شده اشتباه است، زیرا \( c(n,n) = 1 \) باید باشد.
بنابراین، امکانپذیری \( n \) و \( r \) به وضوح میسر نیست. پاسخ متناسب با شرایط اولیه در صورت درست بودن اطلاعات نادرست است.
به همین دلیل، جواب این سوال **0** است.
