1. برای یافتن طول \( \overline{BC} \) در شکل: شکل شامل مثلث‌های قائم‌الزاویه است. برای محاسبه \( \overline{BC} \): در مثلث \( \triangle BDC \)، از فیثاغورس استفاده می‌کنیم: \[ BD = AB = 12 \] پس: \[ BC^2 = BD^2 + CD^2 \] چون \( CD = 3 \)، بنابراین: \[ BC^2 = 12^2 + 3^2 = 144 + 9 = 153 \] بنابراین: \[ BC = \sqrt{153} \] --- 2. برای مختصات بردار \( \mathbf{x} \) در معادله زیر: \[ \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix} + \mathbf{x} = \begin{bmatrix} -4 \\ 6 \end{bmatrix} \] از تفریق برداری استفاده می‌کنیم: \[ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} -4 \\ 6 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 - 2 \\ 6 - 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 \\ 1 \end{bmatrix} \] بنابراین مختصات بردار \( \mathbf{x} \) برابر است با: \[ \begin{bmatrix} -6 \\ 1 \end{bmatrix} \] --- 3. برای مساحت مثلث با اضلاع 12، 16 و 20: از فرمول هرون استفاده می‌کنیم. ابتدا نیم‌محیط مثلث را محاسبه می‌کنیم: \[ s = \frac{12 + 16 + 20}{2} = 24 \] سپس مساحت را محاسبه می‌کنیم: \[ A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \] که در آن \( a = 12 \)، \( b = 16 \)، \( c = 20 \): \[ A = \sqrt{24(24-12)(24-16)(24-20)} = \sqrt{24 \times 12 \times 8 \times 4} = \sqrt{9216} = 96 \] مساحت مثلث ۹۶ است.