برای حل این سوال، ابتدا تعداد کل مهرهها و سپس احتمال مورد نظر را محاسبه میکنیم.
در جعبه، ۵ مهره سفید و ۳ مهره سیاه داریم که در مجموع ۸ مهره هستند.
میخواهیم احتمال این را محاسبه کنیم که در هنگام برداشتن ۳ مهره، هیچ سه مهرهای از یک رنگ خارج نشود. این به این معنی است که ترکیبهای ممکن برای انتخاب مهرهها باید شامل هر دو رنگ باشد:
ترکیبهای ممکن برای انتخاب ۳ مهره از ۵ مهره سفید و ۳ مهره سیاه به صورت زیر است:
1. ۲ مهره سفید و ۱ مهره سیاه
2. ۱ مهره سفید و ۲ مهره سیاه
برای محاسبه احتمال این ترکیبها، از فرمولهای ترکیبی استفاده میکنیم:
تعداد کل راههای ممکن برای انتخاب ۳ مهره از ۸ مهره به شکل زیر محاسبه میشود:
\[
C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56
\]
حال، تعداد راههای ممکن برای هر یک از ترکیبهای مجاز را محاسبه میکنیم:
1. **برای ترکیب ۲ مهره سفید و ۱ مهره سیاه**:
\[
C(5, 2) \times C(3, 1) = \frac{5!}{2!(5-2)!} \times \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times \frac{3}{1} = 10 \times 3 = 30
\]
2. **برای ترکیب ۱ مهره سفید و ۲ مهره سیاه**:
\[
C(5, 1) \times C(3, 2) = \frac{5!}{1!(5-1)!} \times \frac{3!}{2!(3-2)!} = 5 \times 3 = 15
\]
حال مجموع تعداد راههای ممکن برای انتخاب ۳ مهره که هیچ ۳ مهرهای از یک رنگ نباشد:
\[
30 + 15 = 45
\]
اکنون، برای پیدا کردن احتمال وقوع این رخداد، مقدار را به تعداد کل راهها تقسیم میکنیم:
\[
P = \frac{تعداد راههای مناسب}{تعداد کل راهها} = \frac{45}{56}
\]
بنابراین، احتمال این که سه مهره همرنگ نباشد، برابر است:
\[
\frac{45}{56}
\]
