برای تعیین مقدار \( k \) در تابع \( h(x) \) که پیوسته باشد، ابتدا باید حدود چپ و راست تابع را در نقطه‌ای که ممکن است پیوسته نباشد، بررسی کنیم.
تابع \( h(x) \) به صورت زیر است:
- اگر \( x \neq 3 \)، آنگاه \( h(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3} \)
- اگر \( x = 3 \)، آنگاه \( h(x) = k \)
ابتدا صورت کسر \( \frac{x^2 - 9}{x - 3} \) را تجزیه کنیم:
\[ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \]
بنابراین:
\[ \frac{x^2 - 9}{x - 3} = x + 3 \ \text{برای} \ x \neq 3 \]
برای اینکه تابع در \( x = 3 \) پیوسته باشد، باید حدود چپ و راست تابع در این نقطه برابر \( k \) باشد. یعنی:
\[ \lim_{x \to 3} h(x) = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 3 + 3 = 6 \]
بنابراین باید داشته باشیم:
\[ h(3) = k = 6 \]
پس مقدار \( k \) برابر با 6 است.
