در مثلث قائم‌الزاویه $ABC$ ($\hat{A} = 90^\circ$) طول ارتفاع $AH$ برابر $4$ و $CH = 9$ می‌باشد. مساحت مثلث $ABC$ را به دست آورید. [شکل: مثلث قائم‌الزاویه ABC، ارتفاع AH بر BC عمود است، مقادیر AH=4 و CH=9 روی شکل نوشته شده است]

در دو مثلث متشابه اگر نسبت اضلاع $\frac{3}{5}$ باشد آنگاه نسبت محیط‌ها ......... و نسبت مساحت‌ها ......... است. [شکل: دو مثلث متشابه، یکی بزرگتر از دیگری، اضلاع مثلث بزرگتر برچسب‌های $x+5$ و $4y-2$ و $5x+1$ دارند و مثلث کوچکتر $x$ و $y+1$ و $2y-1$]

در شکل زیر $EF || AB$. مقادیر $x$ و $y$ را بیابید. [شکل: مثلث $ABC$ با خط $EF$ موازی ضلع $AB$، مقادیر $AE=x$ و $EC=x+3$ و $AC=x+5$ و $BF=y-1$ و $FC=y+1$]

با توجه به تناسب زیر مقدار $\frac{a}{b}$ را بدست آورید. $\frac{a+1}{b+2} = \frac{2b+7}{2a+7}$

الف) برای هر عدد طبیعی $n$، عدد $n^2+n+41$ عددی اول است. ب) هر چهارضلعی که دو ضلع موازی و دو ضلع مساوی داشته باشد، متوازی‌الاضلاع است. برای احکام زیر با یک مثال نقض، رد کنید:

مراحل رسم نیمساز زاویه و عمود منصف یک پاره خط را توضیح دهید.