برای یافتن دامنه توابع داده شده، شرطی را که تحت جذر باید غیرمنفی باشد، بررسی می‌کنیم.
**الف) تابع \( h(x) = \sqrt{x^2 + 1} \)**
زیر رادیکال همیشه غیر منفی است زیرا \( x^2 + 1 \) برای هر عدد حقیقی \( x \) مثبت و بزرگتر یا مساوی صفر است. پس دامنه این تابع همه اعداد حقیقی است.
دامنه: \( x \in \mathbb{R} \)
**ب) تابع \( k(x) = \sqrt{1 - 4x} \)**
برای اینکه مقدار زیر رادیکال غیرمنفی باشد، باید داریم:
\[ 1 - 4x \geq 0 \]
با حل این نامعادله:
\[ 1 \geq 4x \]
\[ x \leq \frac{1}{4} \]
پس دامنه این تابع مجموعه تمامی \( x \) هایی است که کمتر یا مساوی با \( \frac{1}{4} \) باشند.
دامنه: \( x \leq \frac{1}{4} \)
**پ) تابع \( t(x) = \sqrt{x^3 - x} \)**
برای اینکه مقدار زیر رادیکال غیرمنفی باشد، باید:
\[ x^3 - x \geq 0 \]
این نامعادله با استفاده از فاکتورگیری می‌شود:
\[ x(x^2 - 1) \geq 0 \]
\[ x(x-1)(x+1) \geq 0 \]
تحلیل علامت این عبارت به ما نقاط بحرانی \( x = -1 \)، \( x = 0 \)، و \( x = 1 \) می‌دهد. با رسم جدول تغییرات علامت یا استفاده از خط اعداد، دامنه به دست می‌آید:
دامنه: \( x \in (-\infty, -1] \cup [0, 1] \)
این تحلیل‌ها به شما کمک می‌کنند تا دامنه‌های توابع داده شده را به درستی تعیین کنید.
