برای سوال 8:
برای اثبات تساوی مثلثهای \( \triangle AMN \) و \( \triangle ABC \) باید توجه کنیم که \( MN \parallel BC \) است و \( M \) و \( N \) به ترتیب نقاط میانی \( AB \) و \( AC \) هستند.
طبق قضیه تالس، وقتی دو خط موازی در مثلثی قرار داشته باشند، نسبت قطعات خطی متناسب خواهد شد.
بنابراین داریم:
\[
\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}
\]
از طرف دیگر، چون \( M \) و \( N \) میانههای \( AB \) و \( AC \) هستند:
\[
AM = MB \quad \text{and} \quad AN = NC
\]
به همین دلیل، \( \triangle AMN \sim \triangle ABC \) و چهارضلعیها متشابه هستند.
---
برای سوال 9:
برای اثبات اینکه مثلثهای \( \triangle ABH \) و \( \triangle ACH \) متشابه هستند، توجه کنید که:
زاویه \( A \) در هر دو مثلث مشترک است.
همچنین،
زاویههای \( ABH \) و \( ACH \) با هم برابرند (چرا که \( AH \) یک خط مشاع است).
بنابراین، دو مثلث همزاویه هستند و
