چند میشه و چجوری حل میشه؟

برای حل این سوال، به دقت به الگوی سری نگاه می‌کنیم: \[ 4^2 - 6^2 + 8^2 - 10^2 + \ldots - 98^2 + 100^2 \] این یک سری با الگوی مشخص است. اعداد زوج بین 4 تا 100 که به صورت متناوب مثبت و منفی هستند. ابتدا، هر جفت از اعداد متوالی را با هم در نظر می‌گیریم: 1. \(4^2 - 6^2 = (4-6)(4+6) = -2 \cdot 10 = -20\) 2. \(8^2 - 10^2 = (8-10)(8+10) = -2 \cdot 18 = -36\) 3. ... این الگو را ادامه می‌دهیم تا \(98^2 - 100^2\): \[ (n-2)^2 - n^2 = -4n + 4 \] جمع کردن همه نتایج فوق: شمار اعداد: - از 4 تا 100: 49 عدد زوج داریم. - جفت‌ها: 25-1=24 هر عبارت جفتی به شکل \(n^2 - (n+2)^2\) خواهد بود و نتیجه به شکل \(-(2n + 4)\). هر جفت به طور کلی: - \(4, 6\) - \(8, 10\) - ... الگوی بالا برای تمام جفت‌ها صدق می‌کند. محاسبه: \[-(20 + 36 + 52 + \ldots)\] این سری حسابی است با قدر نسبت \(-16\). مجموع سری \(-20\) تا \(-2000\): \(\sum = 2500\) حالا می‌توانیم نتیجه کل سری را به همراه +10000 (که حاصل مربع 100 است) محاسبه کنیم: \[10000 - 5000 = 5000\] پس پاسخ صحیح گزینه 3 است: 5050.