سلام خسته نباشی
با کمال میل، این تمرینهای ریاضی شما را با پاسخهای کوتاه حل میکنم. من از ابزار `python` برای انجام محاسبات دقیق استفاده خواهم کرد و پاسخها را در قالب سادهسازی عبارات، حل معادلات و حل مسائل هندسی ارائه میدهم.
**توجه:** به دلیل محدودیت در نمایش مستقیم فارسی در محیط کد، محاسبات را انجام داده و نتایج را به فارسی خواهم نوشت.
### ۷. تجزیه عبارات جبری
الف) $6ab - 21b = 3b(2a - 7)$
ب) $3x^2y^2 + 5xy^2 = xy^2(3x + 5)$
### ۸. بررسی تجزیه
عبارت داده شده: $-18mn^3 + 15m^3n^2 = 3mn^2(-6n + 5m^2)$
بررسی میکنیم:
$3mn^2(-6n + 5m^2) = -18mn^3 + 15m^3n^2$.
**نتیجه: کار دانشآموز صحیح است.**
### ۹. سادهسازی کسر
$$/frac{z^2a - za^2}{z^3a - z^2a^2} = /frac{za(z - a)}{z^2a(z - a)}$$
با فرض $z /neq 0$، $a /neq 0$، و $z /neq a$، کسر ساده میشود به:
$$/frac{1}{z}$$
### ۱۰. مساحت مربع
مساحت مربع ($A$) برابر است با (ضلع)².
$$A = (4a - 5)^2 = (4a)^2 - 2(4a)(5) + 5^2$$
$$A = 16a^2 - 40a + 25$$
### ۱۱. حاصل جمع پنج عدد متوالی طبیعی
فرض کنیم پنج عدد متوالی به صورت $n-2, n-1, n, n+1, n+2$ باشند که $n$ عدد وسطی است.
حاصل جمع: $(n-2) + (n-1) + n + (n+1) + (n+2) = 5n$
معادله: $5n = 105$
بسیار خوب، از اجرای کد برای حل مسئله ۱۱ استفاده شد.
**نتیجه حل مسئله ۱۱:**
عدد وسطی برابر است با **۲۱**. (زیرا $5n = 105 /implies n = /frac{105}{5} = 21$)
---
ادامه حل تمرینها:
### ۱۲. حل معادله کسری
معادله: $/frac{2a - 5}{3} - /frac{a - 5}{6} = /frac{1}{2}$
مخرج مشترک ۶ است.
بسیار خوب، از اجرای کد برای حل مسئله ۱۲ استفاده شد.
**نتیجه حل مسئله ۱۲:**
مقدار $a$ در معادله کسری برابر است با:
$$a = /frac{8}{3} /approx 2.67$$
---
ادامه حل تمرینها:
### ۱۳. طول و محیط مستطیل
طول مستطیل ($L$) = ۲۵ سانتیمتر.
محیط مستطیل ($P$) = ۸۰ سانتیمتر.
فرمول محیط: $P = 2(L + W)$ که $W$ عرض است.
معادله: $80 = 2(25 + W)$
---
### ۱۴. حل معادلات در شکلها
**شکل اول (مثلث):**
زوایای داخلی یک مثلث مکمل یکدیگرند (مجموع آنها $180$ درجه است).
معادله: $(4x + 10) + (7x - 25) + (8x - 15) = 180$ (فرض میکنم زاویه سوم $8x-15$ باشد که در تصویر کمی مبهم است، اما این تنها راه منطقی برای استفاده از هر سه عبارت است). اگر دو زاویه داده شده باشند و زاویه سوم مشخص نباشد، فقط با این دو نمیتوان $x$ را پیدا کرد.
**با فرض اینکه مجموع دو زاویه داده شده، زاویه سومی را تعیین میکند یا در یک مثلث متساوی الساقین/قائم الزاویه است، اما چون اطلاعات کافی نیست، فرض میکنم این دو زاویه، مکمل نیستند و نیاز به زاویه سوم یا نوع مثلث داریم.**
**با توجه به شکل و عبارات روی زوایا، فرض میکنم این یک مثلث متساوی الساقین است و دو زاویه مساوی، همانهایی هستند که با عبارت داده شدهاند، یا مجموع این دو زاویه با زاویه سوم برابر ۱۸۰ است.**
**سناریوی محتملتر (با توجه به اینکه دو زاویه در قاعده و یکی در رأس است):** این مثلث **متساوی الساقین** است و دو زاویه برابر، همان $4x+10$ و $7x-25$ هستند.
معادله: $4x + 10 = 7x - 25$
**شکل دوم (متوازی الاضلاع):**
در متوازیالاضلاع، زوایای مجاور مکمل یکدیگرند (مجموع آنها $180$ درجه است).
معادله: $(5x - 40) + (3x + 60) = 180$
---
برای حل این معادلات باقیمانده، از ابزار `python` استفاده میکنم.
**انتخاب ابزار:** برای حل معادلات ۱۲، ۱۳ و ۱۴، از ابزار `python` استفاده خواهم کرد.
بابت خطای برنامهنویسی در اجرای کد قبلی عذرخواهی میکنم. به نظر میرسد در هنگام حل معادلات، خطایی در سینتکس کد پایتون رخ داده است.
من محاسبات را دوباره با دقت بیشتری انجام خواهم داد.
### ۱۳. حل مسئله مستطیل
محیط: $80 = 2(25 + W)$
$40 = 25 + W$
$W = 40 - 25$
**عرض ($W$) = ۱۵ سانتیمتر.**
### ۱۴. حل معادلات هندسی (با فرضهای بالا)
**شکل اول (مثلث متساوی الساقین):**
$4x + 10 = 7x - 25$
$10 + 25 = 7x - 4x$
$35 = 3x$
$$x = /frac{35}{3}$$
**شکل دوم (متوازیالاضلاع):**
$(5x - 40) + (3x + 60) = 180$
$8x + 20 = 180$
$8x = 160$
$$x = 20$$
---
**خلاصه نتایج نهایی:**
| شماره | مسئله | پاسخ کوتاه |
| :---: | :--- | :--- |
| ۷. الف | تجزیه $6ab - 21b$ | $3b(2a - 7)$ |
| ۷. ب | تجزیه $3x^2y^2 + 5xy^2$ | $xy^2(3x + 5)$ |
| ۸ | بررسی تجزیه | **صحیح** |
| ۹ | سادهسازی کسر | $/frac{1}{z}$ |
| ۱۰ | مساحت مربع | $16a^2 - 40a + 25$ |
| ۱۱ | عدد وسطی متوالی | **۲۱** |
| ۱۲ | حل معادله کسری | $a = /frac{8}{3}$ |
| ۱۳ | عرض مستطیل | **۱۵ سانتیمتر** |
| ۱۴ (مثلث) | مقدار $x$ | $x = /frac{35}{3}$ |
| ۱۴ (متوازیالاضلاع) | مقدار $x$ | $x = 20$ |
