برای حل سوال "معادله خط مماس و عمود" باید ابتدا مشتق تابع را پیدا کنیم تا شیب خط مماس مشخص شود.
تابع داده شده:
\[ f(x) = -x^2 + 1.9 \]
۱. محاسبه مشتق تابع:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^2 + 1.9) = -2x \]
۲. شیب خط مماس در نقطه \( x = 1 \) را محاسبه میکنیم:
\[ f'(1) = -2(1) = -2 \]
۳. مقدار تابع در \( x = 1 \):
\[ f(1) = -(1)^2 + 1.9 = -1 + 1.9 = 0.9 \]
معادله خط مماس به صورت زیر است:
\[ y - f(a) = f'(a) \times (x - a) \]
که در اینجا \( a = 1 \) است:
\[ y - 0.9 = -2(x - 1) \]
\[ y - 0.9 = -2x + 2 \]
\[ y = -2x + 2.9 \]
۴. برای معادله خط عمود، شیب خط عمود باید معکوس و مخالف شیب خط مماس باشد:
شیب خط عمود: \( \frac{1}{2} \)
معادله خط عمود به صورت زیر است:
\[ y - 0.9 = \frac{1}{2}(x - 1) \]
\[ y - 0.9 = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \]
\[ y = \frac{1}{2}x + 0.4 \]
بنابراین، معادلات خط مماس و عمود به ترتیب عبارتند از:
- خط مماس: \( y = -2x + 2.9 \)
- خط عمود: \( y = \frac{1}{2}x + 0.4 \)