برای حل این سوال باید پایه‌ها و توان‌های موجود در عبارت را تحلیل کنیم:
عبارت شما به صورت زیر است:
\[
\left(\frac{1}{2}\right)^{-4} × 27^{- \frac{3}{2}}
\]
حال، مراحل حل را دنبال می‌کنیم:
1. **محاسبه‌ی \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}\):**
وقتی یک کسر به توان منفی می‌رود، جای صورت و مخرج عوض می‌شود و توان مثبت می‌شود:
\[
\left(\frac{1}{2}\right)^{-4} = 2^4 = 16
\]
2. **محاسبه‌ی \(27^{- \frac{3}{2}}\):**
توان منفی یعنی صورت و مخرج عوض شود و توان مثبت شود و دلیل این کار گرفتن وارون آن عدد است:
برای \(a^{-\frac{m}{n}}\):
\[
a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}
\]
در اینجا:
\[
27^{- \frac{3}{2}} = \frac{1}{27^{\frac{3}{2}}}
\]
. حال محاسبه کنید:
\[
27 = 3^3 \Rightarrow 27^{\frac{3}{2}} = (3^3)^{\frac{3}{2}} = 3^{\frac{9}{2}} = (3^{\frac{1}{2}})^9 = (\sqrt{3})^9
\]
که این مقدار پیچیده‌ای است
محاسبه دقیق و پیاده‌سازی از این روش ممکن است نیاز به محاسبه دقیق داشته باشد:
اما با استفاده از مقدار تقریبی \((27\approx\) حدود 5.2 تا در نرم‌افزار محاسبه می‌شود)
3. **ضرب دو مقدار بدست آمده:**
حال دو مقدار بدست آمده را با هم ضرب کنید:
\[
16 \times \frac{1}{27^{\frac{3}{2}}}
\]
اینگونه تفاوت عددی بین دو بزرگ یک عدد و یک کسر (حدوداً با یک مقدار کوچک) باقی می‌ماند:
\[
\approx 0.32
\]
بنابراین، محاسبات دقیق مخصوصاً برای توان های کسری نشان می‌دهند که جواب دقیق برای توان های بالای ٩ محاسبات را کمی پیچیده‌تر می‌کنند.
نکته: دقت کنید که در موقع محاسبه‌ی دقیق از ماشین حساب برای محاسبه‌ی ریشه‌های کسری استفاده کنید.
