برای حل سوال، ابتدا باید مجموعه \( A \) را تعریف کنیم. ما داریم:
\[
A = \left\{ \frac{10^{x-1}}{9} \,|\, x \in \mathbb{N}, \, x \leq 4 \right\}
\]
این به این معنا است که \( x \) میتواند یکی از اعداد \( 1, 2, 3, 4 \) باشد، زیرا \( x \) باید در مجموعه \( \mathbb{N} \) (اعداد طبیعی) باشد و همچنین باید کمتر از یا برابر با 4 باشد.
حالا برای هر مقدار ممکن از \( x \)، مقدار \( \frac{10^{x-1}}{9} \) را محاسبه میکنیم.
1. **برای \( x = 1 \)**:
\[
\frac{10^{1-1}}{9} = \frac{10^0}{9} = \frac{1}{9}
\]
2. **برای \( x = 2 \)**:
\[
\frac{10^{2-1}}{9} = \frac{10^1}{9} = \frac{10}{9}
\]
3. **برای \( x = 3 \)**:
\[
\frac{10^{3-1}}{9} = \frac{10^2}{9} = \frac{100}{9}
\]
4. **برای \( x = 4 \)**:
\[
\frac{10^{4-1}}{9} = \frac{10^3}{9} = \frac{1000}{9}
\]
حالا تمام مقادیر را در مجموعه \( A \) قرار میدهیم:
\[
A = \left\{ \frac{1}{9}, \frac{10}{9}, \frac{100}{9}, \frac{1000}{9} \right\}
\]
این مجموعه را میتوان به صورت نهایی نوشت. پس پاسخ نهایی عبارت است از:
\[
A = \left\{ \frac{1}{9}, \frac{10}{9}, \frac{100}{9}, \frac{1000}{9} \right\}
\]
