برای حل این مسئله، باید تعداد اعداد سه رقمیای را پیدا کنیم که جمع ارقامشان کمتر از ۲۶ باشد.
یک عدد سه رقمی را به صورت \( \overline{abc} \) در نظر بگیرید، که در آن \( a \)، \( b \)، و \( c \) ارقام آن هستند. واضح است که \( 1 \leq a \leq 9 \) و \( 0 \leq b, c \leq 9 \).
جمع این ارقام باید کمتر از ۲۶ باشد:
\[ a + b + c < 26 \]
ما میدانیم که حداکثر جمع ارقام یک عدد سه رقمی \( 9 + 9 + 9 = 27 \) است. بنابراین، باید ترکیباتی را پیدا کنیم که جمع آنها کمتر از ۲۶ باشد.
به دلیل اینکه بیشترین عدد ۲۷ است و ما جمع کمتر از ۲۶ میخواهیم، تنها یک ترکیب وجود دارد که در آن جمع ارقام برابر ۲۷ است (یعنی 999) که از شمارش حذف میشود.
بنابراین، برای همه ترکیبات \( a, b, c \) که \( a + b + c = 27 \) یا بیشتر نیست، تنها یک ترکیب را کم میکنیم:
تعداد کل اعداد سه رقمی:
\[ 9 \times 10 \times 10 = 900 \]
زیرا \( a \) میتواند ۹ مقدار (از ۱ تا ۹) داشته باشد و هرکدام از \( b \) و \( c \) میتوانند ۱۰ مقدار (از ۰ تا ۹) داشته باشند.
از این تعداد یک مورد (یعنی وقتی هر سه رقم ۹ هستند) جمع ۲۷ دارند. پس:
تعداد جوابها:
\[ 900 - 1 = 899 \]
بنابراین، ۸۹۹ عدد سه رقمی وجود دارد که جمع ارقامشان کمتر از ۲۶ است.
