برای حل نامساوی داده شده، ابتدا تابع را به صورت یک معادله درجه دو بنویسیم:
\[ f(x) = x^2(m-2) + 4x - m - 1 > 0 \]
این یک معادله درجه دو به فرم \( ax^2 + bx + c \) است، که در آن:
- \( a = m - 2 \)
- \( b = 4 \)
- \( c = -m - 1 \)
برای اینکه نامساوی برای همه مقادیر \( x \) صحیح باشد، باید معادله درجه دو هیچ ریشه واقعی نداشته باشد. این حالت زمانی رخ می‌دهد که دلتای معادله درجه دو منفی باشد (یعنی \(\Delta < 0\)).
دلتای این معادله به صورت زیر است:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(m-2)(-m-1)
\]
حالا، \(\Delta\) را محاسبه می‌کنیم:
\[
\Delta = 16 - 4(m-2)(-m-1)
\]
\[
= 16 - 4(m^2 + m + 2m + 2)
\]
\[
= 16 - 4(m^2 + 3m + 2)
\]
\[
= 16 - 4m^2 - 12m - 8
\]
\[
= -4m^2 - 12m + 8
\]
برای اینکه \(\Delta < 0\) باشد:
\[
-4m^2 - 12m + 8 < 0
\]
این نامساوی را حل کنیم:
\[
4m^2 + 12m - 8 > 0
\]
برای حل این معادله درجه دو، ابتدا ریشه‌ها را محاسبه کنیم:
\[
m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
در اینجا \( a = 4 \)، \( b = 12 \)، و \( c = -8 \):
\[
m = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \times 4 \times (-8)}}{2 \times 4}
\]
\[
m = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 128}}{8}
\]
\[
m = \frac{-12 \pm \sqrt{272}}{8}
\]
\[
m = \frac{-12 \pm 16.49}{8}
\]
در نتیجه دو ریشه داریم:
\[
m_1 = \frac{-12 + 16.49}{8} \approx 0.56
\]
\[
m_2 = \frac{-12 - 16.49}{8} \approx -3.31
\]
بنابراین، نامساوی زمانی برقرار است که \( m < -3.31 \) یا \( m > 0.56\).
