برای حل سوالات ۲ و ۳، بایستی نمودار توابع را رسم کنیم و بازه‌های صعودی و نزولی هر تابع را تعیین کنیم.
### سوال ۲:
تابع داده شده:
\[ y = x^3 - 2x^2 + x + 7 \]
#### مراحل رسم نمودار:
1. **مشتق‌گیری از تابع**: برای پیدا کردن نقاط بحرانی و تعیین صعودی یا نزولی بودن تابع، باید از تابع مشتق بگیریم.
\[ y' = 3x^2 - 4x + 1 \]
2. **یافتن نقاط بحرانی**: معادله را برابر صفر قرار می‌دهیم و آن را حل می‌کنیم.
\[ 3x^2 - 4x + 1 = 0 \]
با استفاده از فرمول مربع کامل یا فرمول حل معادلات درجه دوم ( \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] ) این معادله را حل کنید.
3. **تعیین صعودی و نزولی بودن**: با استفاده از نمودار خطی علامت‌ها در بازه‌های تعیین شده، تابع را تحلیل کنید. اگر در بازه‌ای مشتق مثبت باشد، تابع در آن بازه صعودی است و اگر منفی باشد نزولی است.
### سوال ۳:
تابع داده شده:
\[ y = \frac{|x|}{x} |x^3 - 4x| \]
#### مراحل تحلیل نمودار:
1. **تجزیه و تحلیل علامت**: بررسی کنید که چگونه ارزش‌های \(|x|\) و \(x\) بر علامت کلی تابع تأثیر می‌گذارند.
- اگر \(x > 0\)، \( \frac{|x|}{x} = 1 \)
- اگر \(x < 0\)، \( \frac{|x|}{x} = -1 \)
2. **مشخص کردن نقاط بحرانی**: با بررسی داخل تابع قدر مطلق \(|x^3 - 4x|\)، نقاطی که این مقدار صفر می‌شود را پیدا کنید و بررسی کنید چگونه علامت‌ها تغییر می‌کنند.
3. **تعیین صعودی و نزولی بودن**: مشتق این تابع پیچیده است، اما می توانید با آزمایش مقادیر مختلف \(x\) و بررسی تغییرات علامت تابع در این نقاط، رفتار کلی تابع را درک کنید.
در این تحلیل، رسم دقیق نمودار کمک زیادی می‌کند. با استفاده از نرم‌افزارهای رسم نمودار یا ماشین‌حساب‌های گرافیکی می‌توانید به درک بهتری از رفتار این توابع برسید.
