اگر به تعداد اعضای یک مجموعه k عضوی ۳ عضو اضافه شود به تعداد زیر مجموعه های آن ۵۶ واحد اضافه میشود k را تعیین کنید

برای حل این مسئله، از فرمول تعداد زیرمجموعه‌های یک مجموعه استفاده می‌کنیم. تعداد زیرمجموعه‌های یک مجموعه با \( k \) عضو برابر با \( 2^k \) است. اگر ۳ عضو به این مجموعه اضافه کنیم، تعداد اعضا به \( k + 3 \) تغییر می‌کند و تعداد زیرمجموعه‌ها به \( 2^{k+3} \) افزایش می‌یابد. حالا بیان شده که اضافه شدن این سه عضو، موجب افزایش ۵۶ واحدی در تعداد زیرمجموعه‌ها می‌شود. بنابراین می‌توانیم معادله زیر را بنویسیم: \[ 2^{k+3} - 2^k = 56 \] با ساده کردن این معادله، داریم: \[ 2^k(2^3 - 1) = 56 \] \[ 2^k(8 - 1) = 56 \] \[ 2^k \cdot 7 = 56 \] حالا هر دو طرف معادله را بر 7 تقسیم می‌کنیم: \[ 2^k = \frac{56}{7} = 8 \] می‌دانیم \( 8 = 2^3 \)، بنابراین: \[ 2^k = 2^3 \] از اینجا نتیجه می‌گیریم که: \[ k = 3 \] بنابراین، مقدار \( k \) برابر با ۳ است.