پرسش‌ها و توضیحات مربوط به ریاضی نهم هستند. توضیحات سوالات به شرح زیر است: **سوال ۶۷:** با توجه به داده‌های سوال، داریم: \[ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{20} \] می‌توانیم دو طرف را با یکدیگر ترکیب کرده و مخرج مشترک بگیریم: \[ \frac{y-x}{xy} = \frac{1}{20} \] از داده‌های مسئله \(xy = z\) داریم. با جایگذاری و حل معادله، مقدار \(z\) مشخص می‌شود. اما با جزئیاتی که داده شده، این راه‌حل کامل نیست. به نظر می‌رسد که کلید حل ابتدایی معادله با توجه به شرایط نیست. بنابراین بهتر است کاربرد شرایط مسئله را با فرمول‌ها بررسی کنیم تا راهنمایی دقیق‌تر ارائه شود. **سوال ۶۸:** اگر \( \frac{a^{a+1}}{\sqrt{a}} = 12^a \) باشد، باید مقدار \(a\) را پیدا کنیم. از قواعد توان و ریشه استفاده می‌کنیم: پس رابطه به صورت زیر تدوین می‌شود: \[ a^{a+1} \cdot a^{-0.5} = 12^a \] ابتدا هر دو طرف معادله را هم پایه کنید تا رابطه به یک عدد توان برسد، و سپس مقدار \(a\) حل کنید. **سوال ۶۹:** از مستطیلی به ابعاد \((x+3)\) و \((x+5)\)، مستطیل دیگری به ابعاد \((x+4)\) و \((x-1)\) را حذف می‌کنیم. ایده‌ی کلی این است که مساحت‌های مستطیل‌ها را مقایسه کنیم. بعد از محاسبه و مقایسه‌ی عبارات با یکدیگر، گزینه صحیح را انتخاب کنید. **سوال ۷۰:** اگر \( ab = 4 \) و \( a+b = 8 \) باشد، مقدار: \[ a^2 - b^2 \] را پیدا کنید. از فرمول‌های اتحاد مربع اختلاف استفاده کنید: \[ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \] از این معادله می‌توانید مقادیر مورد نظر را محاسبه کنید و جای گذاری صحیح انجام دهید. برای پاسخ دقیق‌تر باید به جزئیات محاسباتی و جایگزاری دقیق پردازیم.