برای حل این مسئله باید از رابطه‌های مثلثاتی استفاده کرد. ما داده‌های زیر را داریم:
\[
\sin a = \frac{1}{5}
\]
و انتهای کمان \(a\) در ناحیه دوم مثلثاتی است.
مرحله بعدی، یافتن \(\cos a\) است. طبق رابطه مثلثاتی،
\[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1
\]
پس:
\[
\left(\frac{1}{5}\right)^2 + \cos^2 a = 1
\]
\[
\frac{1}{25} + \cos^2 a = 1
\]
\[
\cos^2 a = 1 - \frac{1}{25}
\]
\[
\cos^2 a = \frac{24}{25}
\]
از آنجایی که \(a\) در ناحیه دوم است و در این ناحیه \(\cos a\) منفی است:
\[
\cos a = -\sqrt{\frac{24}{25}} = -\frac{\sqrt{24}}{5} = -\frac{2\sqrt{6}}{5}
\]
حال می‌توانیم \(\tan a\) را محاسبه کنیم:
\[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{1}{5}}{-\frac{2\sqrt{6}}{5}}
\]
\[
\tan a = \frac{1}{5} \times \frac{5}{-2\sqrt{6}} = \frac{1}{-2\sqrt{6}}
\]
\[
\tan a = -\frac{1}{2\sqrt{6}}
\]
برای از بین بردن رادیکال از مخرج، صورت و مخرج را در \(\sqrt{6}\) ضرب می‌کنیم:
\[
\tan a = -\frac{\sqrt{6}}{12}
\]
پاسخ نهایی:
\[
\tan a = -\frac{\sqrt{6}}{12}
\]
