برای حل عبارت \( \frac{2\sin \alpha - \cos \alpha}{2\sin \alpha + \cos \alpha} \) میتوانیم روشهای مختلفی را در نظر بگیریم. در اینجا، عبارات مثلثاتی را بررسی میکنیم و سپس آن را سادهتر میکنیم.
در ابتدا فرض میکنیم که \( x = \tan(\frac{\alpha}{2} ) \). با استفاده از رابطههای نیمزاویهای میتوانیم بنویسیم:
\[
\sin \alpha = \frac{2x}{1+x^2} \quad \text{و} \quad \cos \alpha = \frac{1-x^2}{1+x^2}
\]
حالا این مقادیر را در عبارت اصلی جایگزاری میکنیم:
\[
2\sin \alpha = 2 \cdot \frac{2x}{1+x^2} = \frac{4x}{1+x^2}
\]
\[
- \cos \alpha = -\frac{1-x^2}{1+x^2}
\]
پس داریم:
\[
2\sin \alpha - \cos \alpha = \frac{4x}{1+x^2} - \frac{1-x^2}{1+x^2} = \frac{4x - (1 - x^2)}{1+x^2} = \frac{4x - 1 + x^2}{1+x^2} = \frac{x^2 + 4x - 1}{1+x^2}
\]
حالا برای مخرج:
\[
2\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{4x}{1+x^2} + \frac{1-x^2}{1+x^2} = \frac{4x + (1 - x^2)}{1+x^2} = \frac{4x + 1 - x^2}{1+x^2} = \frac{-x^2 + 4x + 1}{1+x^2}
\]
حالا کل عبارت را دوباره مینویسیم:
\[
\frac{2\sin \alpha - \cos \alpha}{2\sin \alpha + \cos \alpha} = \frac{\frac{x^2 + 4x - 1}{1+x^2}}{\frac{-x^2 + 4x + 1}{1+x^2}} = \frac{x^2 + 4x - 1}{-x^2 + 4x + 1}
\]
این عبارت را میتوانیم به شکل سادهتری نیز در نظر بگیریم. برای اینکه این را بیشتر تحلیل کنیم، میتوانیم رفتار آن را برای مقادیر مختلف \( \alpha \) بررسی کنیم، اما اگر فقط به این عبارت توجه کنیم، مهم است که در تلاش برای سادگی، بتوانیم آن را در شرایط خاص، مثلاً با مقادیر خاص تابع مثلثاتی، بررسی کنیم.
اگر سوال شما به شکل خاصی از حل نیاز دارد یا قدرت تشخیص عددی دارد، برای مقادیر خاصی از \( \alpha \) ممکن است به نتیجههایی برسید که در آنجا کمک بیشتری نیاز است.
در نهایت این پاسخ یک شکل کلی و تحلیلی است که میتواند شما را در روشنتر کردن مفهوم یاری کند.
