برای حل سوال، باید معادله درجه دومی بنویسیم که ریشه‌هایش
\(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\)
و
\(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\)
باشند.
این دو مقدار در واقع زاویه‌های \(30\) و \(60\) درجه را نشان می‌دهند، یعنی \(\cos\) و \(\sin\) زاویه‌های \(30\) و \(60\) درجه‌اند.
فرض کنیم معادله به صورت \(x^2 + bx + c = 0\) باشد. طبق رابطه ریشه‌ها، مجموع ریشه‌ها برابر است با:
\[
(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1
\]
بنابراین \(b = -1\).
حاصل‌ضرب ریشه‌ها نیز برابر است با:
\[
(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) = (\frac{1}{4} - \frac{3}{4}) = -\frac{1}{2}
\]
پس \(c = -\frac{1}{2}\).
بنابراین معادله درجه دوم برابر خواهد بود با:
\[
x^2 - x - \frac{1}{2} = 0
\]
این معادله دارای ریشه‌های گفته شده است.
