برای حل عبارت \( \frac{2^6 \times 3^4 \times 9^6 \times 6^4}{18^2} \) ابتدا باید هر قسمت از عبارت را ساده کنیم.
1. **شکستن اعداد به پایههای اول:**
- \( 9 = 3^2 \) بنابراین \( 9^6 = (3^2)^6 = 3^{12} \)
- \( 6 = 2 \times 3 \) بنابراین \( 6^4 = (2 \times 3)^4 = 2^4 \times 3^4 \)
- \( 18 = 2 \times 3^2 \) بنابراین \( 18^2 = (2 \times 3^2)^2 = 2^2 \times 3^4 \)
2. **جایگزینی در عبارت:**
حالا عبارت را با جایگزینیهایمان دوباره مینویسیم:
\[
\frac{2^6 \times 3^4 \times 3^{12} \times (2^4 \times 3^4)}{2^2 \times 3^4}
\]
3. **جمع کردن توانها:**
برای سادگی، میتوانیم قدرتها را جمع کنیم:
- در صورت، \( 2^6 \) و \( 2^4 \) داریم که مجموع آن میشود \( 2^{6+4} = 2^{10} \)
- همچنین، \( 3^4 \) و \( 3^{12} \) و \( 3^4 \) داریم که جمع توانها میشود \( 3^{4+12+4} = 3^{20} \)
پس عبارت به صورت زیر درمیآید:
\[
\frac{2^{10} \times 3^{20}}{2^2 \times 3^4}
\]
4. **تقسیم توانها:**
حالا با استفاده از قوانین توانها، میتوانیم تقسیم کنیم:
- برای \( 2 \):
\[
2^{10 - 2} = 2^8
\]
- برای \( 3 \):
\[
3^{20 - 4} = 3^{16}
\]
5. **نتیجه نهایی:**
پس عبارت نهایی ما به این شکل است:
\[
2^8 \times 3^{16}
\]
به این ترتیب، پاسخ نهایی عبارت \( \frac{2^6 \times 3^4 \times 9^6 \times 6^4}{18^2} = 2^8 \times 3^{16} \) میشود.
