معادله داده شده به صورت زیر است:
\[
(x + y)^3 - 2(x + y)^2 + 1
\]
برای حل این معادله، میتوانیم از تجزیه یا سادهسازی استفاده کنیم. ابتدا، فرض میکنیم \( z = x + y \). پس معادله به صورت زیر تغییر میکند:
\[
z^3 - 2z^2 + 1
\]
اکنون، میتوان به روشهای مختلفی ادامه داد، مانند بررسی مقادیر \( z \) که معادله را صفر کند (ریشهیابی):
یافتن مقادیر \( z \) که ممکن است معادله را صفر کنند و تلاش برای تجزیه کردن:
- ابتدا اگر \( z = 1 \):
\[
1^3 - 2 \times 1^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0
\]
بنابراین \( z = 1 \) یک ریشه معادله است.
اکنون میتوانیم \( z - 1 \) را از \( z^3 - 2z^2 + 1 \) با تقسیم چندجملهای تجزیه کنیم تا مقدار کامل را بیابیم، یا به صورت زیر تجزیه کنیم:
\[
z^3 - 2z^2 + 1 = (z - 1)^2 (z - 1)
\]
بنابراین معادله به صورت کامل به شکل \((z - 1)^3\) تجزیه میشود.
راهحل برای معادله اولیه زمانی کامل میشود که به جای \( z \)، مقدار \( x + y = 1 \) را بگذاریم.
