برای حل این سؤال، به زیر سؤالهای (الف)، (ب)، و (ت) میپردازیم:
**الف) استفاده از اتحادها**
اتحاد \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) را در نظر بگیرید.
برای عبارت
\[ ( ... + ... )^2 = 9x^2 + 16y^2 + ... \]
میتوانیم نتیجه بگیریم:
- \(a^2 = 9x^2\) بنابراین \(a = 3x\).
- \(b^2 = 16y^2\) بنابراین \(b = 4y\).
بنابراین عبارت کامل میشود:
\[ (3x + 4y)^2 = 9x^2 + 16y^2 + 2(3x)(4y) = 9x^2 + 16y^2 + 24xy \].
**ب) تجزیهی عبارت**
عبارت زیر را داریم:
\[ (x^3 + 1) [(ax + b)^3 - a(ax^3 - bx)] \]
این عبارت را به فرم ساده و مرتبهبندی کنیم:
در ابتدا برای سادهسازی \((ax + b)^3\) و \(a(ax^3 - bx)\) به ترتیب عبارت اصلی را بر حسب توانهای \(x\) مرتب کرده و محاسبه کنیم.
**ج) تجزیهی \(x^4 - y^4\)**
این عبارت را میتوان با استفاده از اتحاد تفاضل مربعها تجزیه کرد:
\[ x^4 - y^4 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) \]
و \((x^2 - y^2) = (x-y)(x+y)\)
بنابراین:
\[ x^4 - y^4 = (x-y)(x+y)(x^2 + y^2) \]
**ت) رفع نامعادله**
نامعادله زیر را حل کنید:
\[ x^2 + \frac{x}{4} \leq (x-2) \]
ابتدا \( (x-2) \) را به طرف راست منتقل کنید:
\[ x^2 + \frac{x}{4} - x + 2 \leq 0 \]
سادهسازی:
\[ x^2 - \frac{3x}{4} + 2 \leq 0 \]
میتوان از روشهای عددی یا آزمون مناطق برای پیدا کردن ریشههای این نامعادله یا رسم نمودار استفاده کرد تا نقاط بحرانی و بازههای مثبت بودن و منفی بودن تابع پیدا شود.
امیدوارم این توضیحات مفید بوده باشد!
