به نظر میرسد که سوال مربوط به استفاده از اتحادهای جبری برای حل عبارات است. بیایید هر کدام از این عبارات را بررسی کنیم.
1. \((3y - 2x)^3\):
برای این عبارت، از اتحاد مکعب دو جملهای استفاده میکنیم:
\((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)
\[
a = 3y, \quad b = 2x
\]
بنابراین:
\[
(3y)^3 - 3(3y)^2(2x) + 3(3y)(2x)^2 - (2x)^3
\]
\[
= 27y^3 - 54y^2x + 36yx^2 - 8x^3
\]
2. \(\left(\frac{x^r - 1}{r}\right)^2\):
برای این عبارت، باید به صورت \(\left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a^2}{b^2}\) استفاده کنیم:
\[
\left(\frac{x^r - 1}{r}\right)^2 = \frac{(x^r - 1)^2}{r^2}
\]
3. \((3a - 5)(3a + 5)\):
این عبارت به صورت اتحاد مربع دو جملهای است:
\((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\)
\[
(3a)^2 - 5^2 = 9a^2 - 25
\]
4. \((2a - 2)(2a + 7)\):
از همان اتحاد مزدوج برای این نیز استفاده میکنیم:
\[
(2a)^2 - (2) \times (7) = 4a^2 + 14a - 4a - 14
\]
5. \(998 \times 1002\):
میتوانیم از اتحاد مربع استفاده کنیم، شبیه به \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\):
\[
(1000 - 2)(1000 + 2) = 1000^2 - 2^2 = 1000000 - 4 = 999996
\]
این پاسخها بهصورت گام به گام با استفاده از اتحادهای جبری ارائه شدند.
