برای تعیین این که کدام یک از مثلث‌ها قائم‌الزاویه است، باید از قضیه فیثاغورس استفاده کنیم. این قضیه بیان می‌کند که در مثلث قائم‌الزاویه، مربع طول وتر برابر با مجموع مربعات طول دو ضلع دیگر است.
### مثلث اول:
- اضلاع: \( x \)، \( 4 \)، \( \sqrt{20} \)
- بررسی:
\[
x^2 + 4^2 = (\sqrt{20})^2 \ x^2 + 16 = 20 \ x^2 = 4 \ x = 2
\]
### مثلث دوم:
- اضلاع: \( 5 \)، \(\sqrt{10}\)، \( \sqrt{6}\)
- بررسی:
\[
(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{10})^2 \neq 5^2 \ 6 + 10 \neq 25
\]
### مثلث سوم:
- اضلاع: \( 4 \)، \( 3 \)، \( \alpha \)
- با توجه به اینکه ضلع \(\alpha\) مشخص نیست، نمی‌توانیم قضیه فیثاغورس را بررسی کنیم.
تنها مثلثی که شرایط فیثاغورس را دارد، مثلث اول است که مقدار \( x \) به‌عنوان طول ضلع با استفاده از فیثاغورس به دست آمد و معادله برقراری داشت.
پس، مثلث اول قائم‌الزاویه است.
