برای نوشتن معادله سهمی که راس آن در نقطه \( (1, 1) \) قرار دارد و فاصله بین دو ریشه آن برابر ۴ واحد است، میتوانیم از اطلاعات داده شده استفاده کنیم.
1. **معادله عمومی سهمی**: معادله عمومی یک سهمی به صورت زیر است:
\[
y = a(x - h)^2 + k
\]
که در آن \( (h, k) \) راس سهمی است. با توجه به این که راس سهمی \( (1, 1) \) است، معادله به شکل زیر در میآید:
\[
y = a(x - 1)^2 + 1
\]
2. **محاسبه فاصله بین ریشهها**: برای بدست آوردن ریشههای سهمی، معادله را برابر صفر قرار میدهیم:
\[
0 = a(x - 1)^2 + 1
\]
این معادله را میتوان به شکل زیر نوشت:
\[
a(x - 1)^2 = -1
\]
برای آنکه معادله ریشه داشته باشد، \( a \) باید منفی باشد.
3. **فاصله بین ریشهها**: فاصله بین دو ریشه \( 2d \) برابر با ۴ واحد است. پس:
\[
2d = 4 \implies d = 2
\]
در اینجا \( d \) فاصله از راس تا هر ریشه است. از آنجایی که راس در نقطه \( x = 1 \) است، ریشهها به صورت زیر خواهند بود:
\[
x_1 = 1 - 2 = -1 \quad \text{و} \quad x_2 = 1 + 2 = 3
\]
4. **استفاده از ریشهها برای یافتن \( a \)**: با استفاده از ریشههای بدست آمده، میتوانیم معادله زیر را به دست بیاوریم:
با توجه به اینکه:
\[
(x + 1)(x - 3) = 0
\]
معادله سهمی به شکل زیر خواهد بود:
\[
y = a(x^2 - 2x - 3)
\]
5. **تابع را مینویسیم**: برای پیدا کردن \( a \)، کافی است که معادله را در مورد \( a \) حل کنیم. با توجه به دادههای قبلی به معادله بفرستیم:
معادله سهمی را به صورت زیر مینویسیم:
\[
y = a(x^2 - 2x - 3)
\]
6. **مرجع ریاضی**: برای اینکه فاصله بین ریشهها برابر با ۴ واحد باشد و در نقطه \( (1,1) \) داشته باشیم، \( a \) باید به گونهای انتخاب شود که این شرایط برآورده شود. به طور خاص با انتخاب \( a = -1 \) معادله دقیقاً شکل زیر را میگیرد:
\[
y = -(x^2 - 2x - 3) + 1
\]
نتیجه نهایی معادله سهمی:
\[
y = -(x^2 - 2x - 3) + 1 = -x^2 + 2x + 2
\]
به عبارت دیگر، معادله ی سهمی به این شکل خواهد بود:
\[
y = -x^2 + 2x + 2
\]
