برای حل این مسئله، باید از قوانین حرکت سقوط آزاد و پرتاب عمودی استفاده کنیم.
### تحلیل مسئله:
1. **توپ اول** از ارتفاع \( h \) با سرعت اولیه صفر سقوط می‌کند.
2. **توپ دوم** از سطح زمین با سرعت اولیه \( v_0 \) به سمت بالا پرتاب می‌شود.
هر دو توپ در زمان یکسانی به سطح زمین می‌رسند، بنابراین می‌توانیم از معادلات حرکت برای هر دو توپ استفاده کنیم.
### تحلیل توپ اول:
برای توپ اول که از سکون سقوط آزاد می‌کند:
\[ h = \frac{1}{2} g t^2 \]
که در آن \( t \) زمان سقوط و \( g \) شتاب گرانش است.
### تحلیل توپ دوم:
برای توپ دوم که به سمت بالا پرتاب می‌شود:
وقتی به بالاترین نقطه می‌رسد سرعت نهایی صفر است، پس حرکت آن رو به پایین ادامه می‌یابد.
معادله مکان-زمان برای آن توپ در حضور \( g \) با استفاده از معادله حرکت یک بعدی:
\[ h = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2 \]
### شرط تساوی:
از شرط تساوی مکان نهایی دو توپ، معادلات زیر برقرار می‌شود:
\[ \frac{1}{2} g t^2 = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2 \]
حل این معادله:
\( t \) را از معادله توپ اول بدست آوریم و در معادله توپ دوم جایگذاری کنیم. همچنین می‌توان از انرژی جنبشی توپ دوم در لحظه برخورد به زمین برای حل مسئله استفاده کرد:
\[ v_0 = \sqrt{2gh} \]
این نتیجه نشان می‌دهد که گزینه (3) صحیح است.
