دوستان میشه این سوال رو حل کنید

برای حل این مسئله، ما باید مقادیر ویژه ماتریس \( A \) را پیدا کنیم. ماتریس \( A = [a_{ij}] \) داده شده است که: \[ a_{ij} = \begin{cases} j & \text{اگر } i = j \\ 1 & \text{اگر } i \neq j \end{cases} \] بنابراین، ماتریس \( A \) یک ماتریس مربعی \( r \times r \) است که در آن درایه‌های اصلی شامل اعداد \( 1, 2, \ldots, r \) هستند و بقیه درایه‌ها \( 1 \) است. برای پیدا کردن دترمینان \( kI - A \) که باید برابر \( 625 \) باشد، مقادیر ویژه را بررسی می‌کنیم. ماتریس‌های این چنینی معمولاً مقادیری از نوع \( Tr(A) - \lambda \) و \( -1 \) به تعداد \( r-1 \) دارند. با توجه به ساختار ماتریس، \( Tr(A) \) برابر است با جمع درایه‌های اصلی: \[ Tr(A) = 1 + 2 + \ldots + r = \frac{r(r+1)}{2} \] حال فرض کنیم مقدار ویژه \( \lambda = Tr(A) - (r-1) \)، و معادله مشخصه را حل کنیم: \[ \det(kI - A) = (k - \lambda)(k + 1)^{r-1} = 625 \] با توجه به این که مقادیر ویژه به تعداد \( r \) هستند و باید \( r-1 \) مقدار ویژه منفی \( -1 \) باشد، \( \lambda \) برابر \( \frac{r(r+1)}{2} - (r-1) \) است. حال با جایگذاری در معادله اصلی و حل برای \( k \)، می‌توان \( k \) را به دست آورد. این روند به دقت بیشتری برای حساب کردن نیاز دارد، اما ایده کلی این است که از ساختار خاص ماتریس استفاده و با دقت معادلات بالا را بررسی کنید تا به مقدار صحیح \( k \) برسید.