برای حل این سوال، ما به دنبال دنبالهای حسابی هستیم که جمله پنجم آن برابر ۱۳ و جمله دوم آن برابر ۷ است. باید جمله عمومی این دنباله را پیدا کنیم و مشخص کنیم چندمین جمله این دنباله برابر ۲۲ است.
ابتدا فرمول جمله عمومی دنباله حسابی را یادآوری کنیم:
\[ a_n = a_1 + (n-1) \times d \]
که در آن \( a_n \) جمله \( n \)-ام، \( a_1 \) جمله اول و \( d \) قدر نسبت دنباله است.
برای استفاده از این معادله، دو معادله زیر را از اطلاعات داده شده مینویسیم:
1. \( a_5 = a_1 + 4d = 13 \)
2. \( a_2 = a_1 + d = 7 \)
حال، معادله دوم را از معادله اول کم میکنیم:
\[ (a_1 + 4d) - (a_1 + d) = 13 - 7 \]
\[ 3d = 6 \]
\[ d = 2 \]
با قرار دادن مقدار \( d \) در معادله دوم، مقدار \( a_1 \) را پیدا میکنیم:
\[ a_1 + 2 = 7 \]
\[ a_1 = 5 \]
اکنون، جمله عمومی را مینویسیم:
\[ a_n = 5 + (n-1) \times 2 \]
\[ a_n = 5 + 2n - 2 \]
\[ a_n = 2n + 3 \]
حالا میخواهیم عدد \( n \) را پیدا کنیم که \( a_n = 22 \) باشد:
\[ 2n + 3 = 22 \]
\[ 2n = 19 \]
\[ n = 9.5 \]
چون \( n \) نمیتواند اعشاری باشد و در دنباله حسابی، \( n \) باید عدد صحیح باشد، به این نتیجه میرسیم که هیچ یک از جملات دنباله دقیقاً برابر ۲۲ نیست.
