برای حل این مسئله، باید معادله سود را با استفاده از تابع هزینه و درآمد محاسبه کنیم و سپس مقدار تولیدی را بیابیم که بیشترین سود را تولید کند.
1. **تابع سود (S) را تعریف کنیم:**
\( S(x) = R(x) - C(x) \)
که \( R(x) \) درآمد و \( C(x) \) هزینه است.
2. **تعیین \( R(x) \):**
درآمد از فروش کالا به قیمت 100 تومان برای x واحد است:
\( R(x) = 100x \)
3. **اعمال \( C(x) \):**
تابع هزینه داده شده است:
\( C(x) = x^2 + 40x + 200 \)
4. **محاسبه تابع سود:**
\( S(x) = 100x - (x^2 + 40x + 200) \)
ساده‌سازی:
\( S(x) = 100x - x^2 - 40x - 200 \)
\( S(x) = -x^2 + 60x - 200 \)
5. **یافتن ماکسیمم تابع سود:**
برای یافتن ماکسیمم، اشتقاق گرفته و برابر صفر قرار می‌دهیم:
\( S'(x) = \frac{d}{dx} (-x^2 + 60x - 200) \)
\( S'(x) = -2x + 60 \)
قرار دادن مشتق برابر صفر:
\(-2x + 60 = 0\)
حل برای x:
\( 2x = 60 \)
\( x = 30 \)
بنابراین، برای حداکثر سود، باید 30 واحد تولید شود.
