برای حل این مسأله از روابط مثلثاتی استفاده می‌کنیم.
فرض کنید:
\[
A = \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) \sin(\pi + \alpha) - \sin(\pi - \alpha) \cos(-\alpha)
\]
مراحل حل:
1. **محاسبه \(\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)\):**
با استفاده از رابطه جمع زاویه‌ها داریم:
\[
\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos(\alpha)
\]
2. **محاسبه \(\sin(\pi + \alpha)\):**
با استفاده از رابطه جمع زاویه‌ها داریم:
\[
\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)
\]
3. **محاسبه \(\sin(\pi - \alpha)\):**
\[
\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)
\]
4. **محاسبه \(\cos(-\alpha)\):**
\[
\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)
\]
5. **جای‌گذاری در معادله اصلی:**
\[
A = \cos(\alpha) \cdot (-\sin(\alpha)) - \sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha)
\]
\[
= -\cos(\alpha)\sin(\alpha) - \cos(\alpha)\sin(\alpha)
\]
\[
= -2\cos(\alpha)\sin(\alpha)
\]
6. **به دست آوردن نتیجه نهایی:**
با استفاده از فرمول دو برابر زاویه:
\[
\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)
\]
پس:
\[
A = -\sin(2\alpha)
\]
بنابراین، جواب صحیح گزینه‌ی 1 یعنی \(-\sin(2\alpha)\) است.
