برای حل این سوال، ابتدا باید مقدار الگبری عبارت داده شده را محاسبه کنیم:
عبارت داده شده:
\[
\frac{(1 + \tan 20^\circ)(1 - \cot 20^\circ)}{(1 + \cot 20^\circ)(1 - \tan 20^\circ)}
\]
میدانیم که:
\[
\tan 20^\circ = \frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ} \quad \text{و} \quad \cot 20^\circ = \frac{\cos 20^\circ}{\sin 20^\circ}
\]
اکنون، ابتدا صورت کسر را ساده میکنیم:
صورت:
\[
(1 + \tan 20^\circ)(1 - \cot 20^\circ) = \left(1 + \frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ}\right)\left(1 - \frac{\cos 20^\circ}{\sin 20^\circ}\right)
\]
حال مخرج را حساب میکنیم:
مخرج:
\[
(1 + \cot 20^\circ)(1 - \tan 20^\circ) = \left(1 + \frac{\cos 20^\circ}{\sin 20^\circ}\right)\left(1 - \frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ}\right)
\]
با ضرب کردن و سادهسازی هر دو عبارت بالا و سپس تقسیم آنها، متوجه میشویم که عبارت به مقدار ثابتی ساده خواهد شد.
نتیجه گیری نهایی محاسبات به سادگی:
عبارت داده شده برابر با \(-1 \) است.
بنابراین، گزینه صحیح (3) با مقدار \(-1\) است.
