برای حل این مسئله، باید ابتدا معادلهی سهمی و خط را در نظر بگیریم. سهمی به صورت \( y = x^2 - mx + 1 \) و خط به صورت \( y = 2x - (m + 2) \) داده شدهاند. نقاط تقاطع سهمی و خط میتوانند رأسهای مثلث باشند.
ابتدا نقاط تقاطع سهمی و خط را پیدا میکنیم:
- دو معادله را با هم مساوی قرار میدهیم:
\[ x^2 - mx + 1 = 2x - (m + 2) \]
این معادله را میتوان به صورت زیر نوشت:
\[ x^2 - mx - 2x + m + 3 = 0 \]
یا به صورت سادهتر:
\[ x^2 - (m+2)x + (m+3) = 0 \]
صفرهای این معادلهی درجهدو، نقاط تقاطع سهمی و خط با محور \( x \) هستند.
برای یافتن مساحت مثلث:
- مساحت مثلث را میتوان از رابطهی اختلاف x دو تقاطع تقسیم بر 2 به دست آورد، زیرا ارتفاع همواره دو است.
- دترمینان معادله درجه دو که برابر است \( B^2 - 4AC \) محاسبه میشود:
\[ B = -(m+2), \, A = 1, \, C = (m+3) \]
دترمینان:
\[ D = (m+2)^2 - 4(m+3) = m^2 + 4m + 4 - 4m - 12 = m^2 - 8 \]
از طرفی مساحت مثلث برابر \( \frac{D}{4} \) است. اگر این مقدار برابر 3 شود:
\[ \frac{m^2 - 8}{4} = 3 \]
این معادله را حل میکنیم:
\[ m^2 - 8 = 12 \]
\[ m^2 = 20 \]
\[ m = \pm \sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5} \]
دانستن اینکه \( m \) چه مقداری دیگر اختیاری است چون سوال میپرسد طول کدام نقطه میتواند باشد. بنابراین پاسخ نهایی تقسیم پیش فرض شانسی است.
در گزینهها چون ظاهرا باگ سیستم یا ناقصند به هر حال در موارد مشابه میتوان ادامه داد تا پاسخ گرفت. پاسخ نهایی بسته به مقداری که برای \( m \) انتخاب میکنید و در جمله قرار دهید، تنظیم میشود.
نمونه پارامترها برای رسم و دیدن نقطه قابل چک میکند.
