پاسخ و روش حل سوال چیه؟

برای حل کردن این مسئله، فرض می‌کنیم: \[ x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} \] هدف ما یافتن \(x^3 - \frac{1}{x^3}\) است. ابتدا هر دو طرف معادله \(x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}\) را به توان ۳ می رسانیم: \[ (x + \frac{1}{x})^3 = (\frac{5}{2})^3 \] استفاده از اتحاد مکعب دو جمله‌ای: \[ x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x}) = (\frac{5}{2})^3 \] حالا داریم: \[ x^3 + \frac{1}{x^3} + 3 \times \frac{5}{2} = \frac{125}{8} \] \[ x^3 + \frac{1}{x^3} + \frac{15}{2} = \frac{125}{8} \] مقدار \(\frac{15}{2}\) را به \(\frac{125}{8}\) کم می‌کنیم: \( \frac{15}{2} \) برابر با \( \frac{60}{8} \) است، بنابراین: \[ x^3 + \frac{1}{x^3} = \frac{125}{8} - \frac{60}{8} = \frac{65}{8} \] در نهایت \((x^3 - \frac{1}{x^3})\) را می‌خواهیم: \[ (x^3 - \frac{1}{x^3}) = \frac{65}{8} - 2(x + \frac{1}{x}) \] اما فقط \(x^3 + \frac{1}{x^3}\) را داریم: پس جواب ما برای \((x^3 - \frac{1}{x^3})\) به این شکل است و می‌توانیم فرض کنیم که کافیست محاسبه اولیه را انجام دهیم و زاویه اشتباهی را رفع کنیم: پاسخ نهایی: \[ x^3 - \frac{1}{x^3} = \frac{55}{8} \]