برای حل سوال مرتبط با اتحاد جملهای، به شما توضیح خواهیم داد که چگونه از اتحادها برای ساده کردن عبارتهای مربوط به ریشه استفاده کنید. در سوال ب، عبارت به صورت زیر است:
\[
\sqrt{x^2 + 6x + 9} + \sqrt{x^2 - 4x + 4}
\]
ابتدا باید اتحادهای مربعی کامل را برای ساده کردن هر عبارت زیر ریشه تشخیص دهیم:
1. \(x^2 + 6x + 9\) را میتوان به صورت مربع کامل \( (x + 3)^2 \) نوشت.
2. \(x^2 - 4x + 4\) را میتوان به صورت مربع کامل \( (x - 2)^2 \) نوشت.
بنابراین داریم:
\[
\sqrt{x^2 + 6x + 9} = |x + 3|
\]
\[
\sqrt{x^2 - 4x + 4} = |x - 2|
\]
جمع این دو عبارت مساوی است با:
\[
|x + 3| + |x - 2|
\]
برای اینکه مقدار این عبارت را برای مقادیر مختلف \(x\) بدست آوریم، نیاز به بررسی تابع قدر مطلق داریم و تابع به حالتهای مختلف بررسی میشود.
1. اگر \(x \geq 2\) است، آنگاه:
\[ |x + 3| = x + 3 \]
\[ |x - 2| = x - 2 \]
پس \( |x + 3| + |x - 2| = x + 3 + x - 2 = 2x + 1 \)
2. اگر \( -3 \leq x < 2 \) است، آنگاه:
\[ |x + 3| = x + 3 \]
\[ |x - 2| = -(x - 2) = -x + 2 \]
پس \( |x + 3| + |x - 2| = x + 3 - x + 2 = 5 \)
3. اگر \(x < -3\) است، آنگاه:
\[ |x + 3| = -(x + 3) = -x - 3 \]
\[ |x - 2| = -(x - 2) = -x + 2 \]
پس \( |x + 3| + |x - 2| = -x - 3 - x + 2 = -2x - 1 \)
بنابراین نتیجه به شکل قطعهای خواهد بود که نیاز به بررسی حالتهای مختلف دارد.
