جمله عمومی این دنباله چیه؟

برای پیدا کردن جمله عمومی این دنباله، ابتدا الگوی موجود را بررسی می‌کنیم. دنباله داده شده به صورت زیر است: \[ \frac{1}{4}, \frac{1}{10}, \frac{1}{22}, \ldots \] می‌توان متوجه شد که مخرج‌های این کسرها از یک الگوی خاص پیروی می‌کنند. برای پیدا کردن این الگو، تفاوت بین مخرج‌های متوالی را بررسی می‌کنیم: - \(10 - 4 = 6\) - \(22 - 10 = 12\) به نظر می‌رسد که تفاوت‌ها ۶، ۱۲ و ... است که به صورت \(2n\) در هر گام افزایش می‌یابد. به همین دلیل می‌توان مخرج \(n\)-ام را به صورت زیر تعریف کرد: \[ a_n = 4 + \sum_{i=1}^{n-1} 2i = 4 + 2(1 + 2 + \ldots + (n-1)) \] با توجه به فرمول مجموع اعداد طبیعی: \[ 1 + 2 + \ldots + (n-1) = \frac{(n-1) \cdot n}{2} \] بنابراین: \[ a_n = 4 + 2 \cdot \frac{(n-1) \cdot n}{2} \] که به صورت زیر ساده می‌شود: \[ a_n = 4 + (n-1)n \] در نهایت، جمله عمومی دنباله به صورت زیر است: \[ t_n = \frac{1}{n^2 - n + 4} \]