برای پیدا کردن جمله عمومی این دنباله، ابتدا الگوی موجود را بررسی میکنیم. دنباله داده شده به صورت زیر است:
\[
\frac{1}{4}, \frac{1}{10}, \frac{1}{22}, \ldots
\]
میتوان متوجه شد که مخرجهای این کسرها از یک الگوی خاص پیروی میکنند. برای پیدا کردن این الگو، تفاوت بین مخرجهای متوالی را بررسی میکنیم:
- \(10 - 4 = 6\)
- \(22 - 10 = 12\)
به نظر میرسد که تفاوتها ۶، ۱۲ و ... است که به صورت \(2n\) در هر گام افزایش مییابد.
به همین دلیل میتوان مخرج \(n\)-ام را به صورت زیر تعریف کرد:
\[
a_n = 4 + \sum_{i=1}^{n-1} 2i = 4 + 2(1 + 2 + \ldots + (n-1))
\]
با توجه به فرمول مجموع اعداد طبیعی:
\[
1 + 2 + \ldots + (n-1) = \frac{(n-1) \cdot n}{2}
\]
بنابراین:
\[
a_n = 4 + 2 \cdot \frac{(n-1) \cdot n}{2}
\]
که به صورت زیر ساده میشود:
\[
a_n = 4 + (n-1)n
\]
در نهایت، جمله عمومی دنباله به صورت زیر است:
\[
t_n = \frac{1}{n^2 - n + 4}
\]
