برای حل این سوال، ابتدا باید محاسبات داخل معادله را انجام دهیم. عبارت داده شده به صورت زیر است:
\[
\cos \alpha = (2 + \tan^2 45^\circ)(1 - \sin 45^\circ)
\]
**گام اول: محاسبه \(\tan 45^\circ\) و \(\sin 45^\circ\)**
- \(\tan 45^\circ = 1\)
- \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
**گام دوم: جایگذاری و سادهسازی**
\[
\cos \alpha = (2 + 1^2)(1 - \frac{\sqrt{2}}{2})
\]
\[
= 3 \times (1 - \frac{\sqrt{2}}{2})
\]
\[
= 3 \times \frac{2 - \sqrt{2}}{2}
\]
\[
= \frac{3(2 - \sqrt{2})}{2}
\]
\[
= \frac{6 - 3\sqrt{2}}{2}
\]
\[
= 3 - \frac{3\sqrt{2}}{2}
\]
**گام سوم: حالا بررسی مقادیر \(\alpha\)**
باید بررسی کنیم کدام گزینه برای \(\alpha\) صحیح است که وقتی \(\cos \alpha\) را حساب کنیم، به عدد بالا برسیم. با بررسی زوایای داده شده:
- اگر \(\alpha = 45^\circ\)، داریم:
\[
\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
- اگر \(\alpha = 60^\circ\)، داریم:
\[
\cos 60^\circ = \frac{1}{2}
\]
این مقدار به مقدار محاسبه شده نزدیکتر است، پس برگزیده به نظر میآید.
پاسخ صحیح گزینه 4 یعنی \(\alpha = 60^\circ\) است.
