برای حل این مسئله، ابتدا نیاز داریم اطلاعات داده شده را تحلیل کنیم.
در مثلث قائم‌الزاویه \( ABC \) داریم:
1. اندازه ضلع \( AC = 24 \)
2. \(\cos C = \frac{4}{5}\)
\(\cos C\) در واقع نسبت ضلع مجاور به وتر است. چون \( C \) زاویه قائمه نیست (زیرا مثلث قائم الزاویه است و زاویه قائمه در \( B \) است)، پس \(\cos\) در اینجا نسبت ضلع \( AB \) به وتر \( AC \) خواهد بود:
بنابراین:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{4}{5}
\]
یعنی:
\[
AB = \frac{4}{5} \times 24 = 19.2
\]
برای پیدا کردن ضلع دیگر (\( BC \))، از قضیه فیثاغورس استفاده می‌کنیم:
\[
AC^2 = AB^2 + BC^2
\]
\[
24^2 = 19.2^2 + BC^2
\]
\[
576 = 368.64 + BC^2
\]
\[
BC^2 = 576 - 368.64 = 207.36
\]
\[
BC = \sqrt{207.36} = 14.4
\]
پس محیط مثلث به صورت زیر محاسبه می‌شود:
\[
AB + BC + AC = 19.2 + 14.4 + 24 = 57.6
\]
وقتی به گزینه‌ها نگاه می‌کنیم، 57.6 به عدد 58 نزدیک است، پس گزینه صحیح «گزینه 1» است.
