در این سوال، دنباله‌ای هندسی داده شده که دارای روابط زیر است: 1. \( t_4 - t_1 = 14 \) 2. \( t_2 - t_1 = 2 \) ما می‌خواهیم مقدار جمله‌های دنباله را به دست آوریم. فرض کنیم که \( t_1 = a \) باشد و قدر نسبت دنباله \( r \) باشد. بر این اساس جمله‌های دنباله به صورت زیر خواهند بود: - \( t_1 = a \) - \( t_2 = ar \) - \( t_3 = ar^2 \) - \( t_4 = ar^3 \) از معادله‌ی اول داریم: \[ ar^3 - a = 14 \] \[ a(r^3 - 1) = 14 \] و از معادله‌ی دوم داریم: \[ ar - a = 2 \] \[ a(r - 1) = 2 \] حالا اگر دو معادله بالا را تقسیم کنیم، داریم: \[ \frac{a(r^3 - 1)}{a(r - 1)} = \frac{14}{2} \] \[ \frac{r^3 - 1}{r - 1} = 7 \] از تقسیم بالا، می‌توان چند جمله‌ای را ساده کرد: \[ r^3 - 1 = (r - 1)(r^2 + r + 1) \] پس: \[ r^2 + r + 1 = 7 \] از معادله بالا داریم: \[ r^2 + r - 6 = 0 \] این معادله درجه دوم است و با روش فرمول درجه دوم یا فاکتورگیری قابل حل است: \[ (r - 2)(r + 3) = 0 \] بنابراین: \[ r = 2 \quad \text{or} \quad r = -3 \] با توجه به دنباله هندسی و حل معادله، می‌توان بررسی را ادامه داد. به عنوان مثال در اینجا فرض شده است که \( r = 2 \) است، سپس با جایگذاری در معادلات اولیه و محاسبه \( t_1 \) و دیگر جملات دنباله مقدار دقیق هر جمله را به دست می‌آوریم. با جایگذاری \( r = 2 \) در معادله‌ی \( a(r - 1) = 2 \): \[ a(2 - 1) = 2 \] \[ a = 2 \] حال تمامی جملات دنباله را مشخص می‌کنیم: - \( t_1 = 2 \) - \( t_2 = 4 \) - \( t_3 = 8 \) - \( t_4 = 16 \) بنابراین، پاسخ صحیح محاسبه شده است.