در این سوال، دنبالهای هندسی داده شده که دارای روابط زیر است:
1. \( t_4 - t_1 = 14 \)
2. \( t_2 - t_1 = 2 \)
ما میخواهیم مقدار جملههای دنباله را به دست آوریم. فرض کنیم که \( t_1 = a \) باشد و قدر نسبت دنباله \( r \) باشد. بر این اساس جملههای دنباله به صورت زیر خواهند بود:
- \( t_1 = a \)
- \( t_2 = ar \)
- \( t_3 = ar^2 \)
- \( t_4 = ar^3 \)
از معادلهی اول داریم:
\[ ar^3 - a = 14 \]
\[ a(r^3 - 1) = 14 \]
و از معادلهی دوم داریم:
\[ ar - a = 2 \]
\[ a(r - 1) = 2 \]
حالا اگر دو معادله بالا را تقسیم کنیم، داریم:
\[ \frac{a(r^3 - 1)}{a(r - 1)} = \frac{14}{2} \]
\[ \frac{r^3 - 1}{r - 1} = 7 \]
از تقسیم بالا، میتوان چند جملهای را ساده کرد:
\[ r^3 - 1 = (r - 1)(r^2 + r + 1) \]
پس:
\[ r^2 + r + 1 = 7 \]
از معادله بالا داریم:
\[ r^2 + r - 6 = 0 \]
این معادله درجه دوم است و با روش فرمول درجه دوم یا فاکتورگیری قابل حل است:
\[ (r - 2)(r + 3) = 0 \]
بنابراین:
\[ r = 2 \quad \text{or} \quad r = -3 \]
با توجه به دنباله هندسی و حل معادله، میتوان بررسی را ادامه داد. به عنوان مثال در اینجا فرض شده است که \( r = 2 \) است، سپس با جایگذاری در معادلات اولیه و محاسبه \( t_1 \) و دیگر جملات دنباله مقدار دقیق هر جمله را به دست میآوریم.
با جایگذاری \( r = 2 \) در معادلهی \( a(r - 1) = 2 \):
\[ a(2 - 1) = 2 \]
\[ a = 2 \]
حال تمامی جملات دنباله را مشخص میکنیم:
- \( t_1 = 2 \)
- \( t_2 = 4 \)
- \( t_3 = 8 \)
- \( t_4 = 16 \)
بنابراین، پاسخ صحیح محاسبه شده است.
