**پاسخ سوال ۳:**
۳-۱) \( U - A \):
فرض کنید \( U \) مجموعه مرجع باشد و \( A \) مجموعهای زیر مجموعه آن. از قانون متمم مجموعهها، داریم:
\[ U - A = A' \]
توضیح: متمم \( A \) در \( U \) همان عناصری است که در \( U \) وجود دارند اما در \( A \) نیستند.
۳-۲) \( A \cup A' \):
اتحاد هر مجموعه با متمم آن برابر با مجموعه مرجع است:
\[ A \cup A' = U \]
توضیح: هر عنصر یا در \( A \) است یا در متمم آن، بنابراین اتحاد آنها مجموعه مرجع را تشکیل میدهد.
**پاسخ سوال ۴:**
۴-۱) \( A \cup B \):
مجموعه \( A = (1, 5) \) و \( B = [-1, 4) \) هستند. اتحاد این دو مجموعه شامل تمامی اعداد بین -۱ و ۵ میشود:
\[ A \cup B = [-1, 5) \]
توضیح: \( A \) شامل (۱, ۵) و \( B \) شامل [-۱, ۴) است، پس اتحاد از حاصل ترکیب این دو فواصل است.
۴-۲) \( B - A \):
تفاضل مجموعه \( B = [-1, 4) \) و \( A = (1, 5) \) شامل اعداد در \( B \) است که در \( A \) وجود ندارند:
\[ B - A = [-1, 1] \cup [4, 4) = [-1, 1] \]
توضیح: بازه [-۱, ۱] در A نیست و در B قرار دارد. بازه (۴, ۴) خالی است و در نظر گرفته نمیشود.