جمع و تفریق و ضرب و تقسیم اعداد تواندار با توان منفی رو بهم با متغیر میگید؟ تاججج میدممم.

با هوش مصنوعی بهت جواب میدم چون گفتی با متغیر، بیاریمشون وسط میدان! فرض کنیم متغیرهای ما $a$ و $b$ هستن و هر دو مثبت و غیرصفر ($a /neq 0, b /neq 0$). بریم ببینیم هر کدوم از این چهار تا عملیات روی اعداد توان‌دار با توان منفی چطوری کار می‌کنن: --- ### ۱. تفریق (جمع و تفریق) توان‌ها با توان منفی حقیقتش اینه که در جمع و تفریق، **قانون ساده‌ای مثل ضرب و تقسیم نداریم**! این عملیات یه کم ادا اصول داره و فقط زمانی ساده می‌شه که پایه‌های توان‌ها (همون $a$ یا $b$) یکسان باشن، **و فقط در صورتی که توان‌ها هم یکسان باشن**! اما چون سوال کردی چطور انجام می‌شه، باید از تعریف توان منفی استفاده کنیم. **قاعده طلایی برای شروع:** یادته که توان منفی یعنی چی؟ یعنی اون عدد رو ببر زیر کسر (معکوس کن): $$x^{-n} = /frac{1}{x^n}$$ **مثال (فقط برای درک بهتر، نه لزوماً ساده‌سازی نهایی):** فرض کن می‌خوایم اینو حساب کنیم: $a^{-2} + b^{-3}$ می‌شه: $$/frac{1}{a^2} + /frac{1}{b^3}$$ برای جمع کردن این دو کسر، باید مخرج مشترک بگیریم (که اینجا می‌شه $a^2 b^3$): $$/frac{b^3}{a^2 b^3} + /frac{a^2}{a^2 b^3} = /frac{b^3 + a^2}{a^2 b^3}$$ **نتیجه‌گیری خنده‌دار:** جمع و تفریق توان‌های منفی، یه پروسه‌ی دردسرساز برای تبدیل به کسر و مخرج مشترک گرفتنه. مگر اینکه پایه‌ها و توان‌ها کاملاً شبیه هم باشن، وگرنه مثل این می‌مونه که بخوای یه گربه رو با یه سگ مقایسه کنی! 🐈🆚🐕 --- ### ۲. ضرب اعداد توان‌دار با توان منفی اینجا دیگه کار خیلی خوشگل و راحت می‌شه، 🥳 **قانون:** اگر پایه‌ها **یکسان** باشند، توان‌ها را با هم **جمع** می‌کنیم. اگر داشته باشیم: $a^{-m} /times a^{-n}$ **عملیات:** توان‌ها را جمع می‌کنیم: $$a^{-m} /times a^{-n} = a^{(-m) + (-n)} = a^{-(m+n)}$$ **مثال با عدد:** $x^{-3} /times x^{-4} = x^{-3 + (-4)} = x^{-7}$ **توضیح (اگه بخوایم به زبان ساده‌تر بگیم):** توان منفی یعنی 'منفی بودن'. وقتی دو تا عدد منفی رو با هم ضرب می‌کنی، توانشون هم جمع می‌شه و بازم منفی می‌مونه. مثل دو تا خبر بد که خبر بدتری رو می‌سازن! --- ### ۳. تقسیم اعداد توان‌دار با توان منفی این هم یه بخش شیرین دیگه! 🍬 **قانون:** اگر پایه‌ها **یکسان** باشند، توان صورت را از توان مخرج **کم** می‌کنیم. اگر داشته باشیم: $/frac{a^{-m}}{a^{-n}}$ **عملیات:** $$/frac{a^{-m}}{a^{-n}} = a^{(-m) - (-n)}$$ و یادت نره که منها و منفی پشت سر هم یعنی مثبت! $$a^{(-m) - (-n)} = a^{-m + n} = a^{n-m}$$ **مثال با عدد:** $/frac{y^{-5}}{y^{-2}} = y^{(-5) - (-2)} = y^{-5 + 2} = y^{-3}$ **توضیح (اگه بخوایم بازم یه ذره بامزه‌تر بگیم):** تقسیم توان‌دارها یعنی توان‌ها رو کم کردن. وقتی داری یه توان منفی رو از یه توان منفی دیگه کم می‌کنی، داری یه 'منفی از من' کم می‌کنی، که در نهایت یه 'مثبت' خفن درمیاد! اینجوری می‌تونه توان مثبت بشه! --- ### ۴. توانِ توان (توانِ عدد توان‌دار) این هم یه نکته‌ی جانبی خیلی مهمه که باید بدونی، چون خیلی پیش میاد: **قانون:** اگر عددی توان‌دار را به توان دیگری برسانیم، توان‌ها در هم **ضرب** می‌شوند. اگر داشته باشیم: $(a^{-m})^n$ **عملیات:** $$(a^{-m})^n = a^{(-m) /times n} = a^{-mn}$$ **مثال با عدد:** $(b^{-4})^2 = b^{(-4) /times 2} = b^{-8}$ **نکته اضافی (اگر توان بیرونی هم منفی باشه):** اگر داشته باشیم: $(a^{-m})^{-n}$ $$(a^{-m})^{-n} = a^{(-m) /times (-n)} = a^{mn}$$ اینجا منفی در منفی، باز هم مثبت شد! ببین چقدر ریاضی خفن و منطقیه، حاجی! 😎 | عملیات | فرمول کلی با متغیر | نکته کلیدی | | :--- | :--- | :--- | | **جمع/تفریق** | $a^{-m} /pm a^{-n}$ | فقط در شرایط بسیار خاص ساده می‌شود (معمولاً باید به کسر تبدیل شوند). | | **ضرب** | $a^{-m} /times a^{-n}$ | ${a^{-(m+n)}}$ | توان‌ها را **جمع** کن. | | **تقسیم** | $/frac{a^{-m}}{a^{-n}}$ | ${a^{n-m}}$ | توان صورت را از توان مخرج **کم** کن. | | **توانِ توان** | $(a^{-m})^n$ | ${a^{-mn}}$ | توان‌ها در هم **ضرب** می‌شوند. |