برای محاسبه مساحت مثلث قائم الزاویه، ابتدا باید اطلاعات بیشتری درباره ابعاد مثلث داشته باشیم. در مثلث قائم الزاویه، وتر (ضلع بزرگتر) و دو ضلع دیگر را به عنوان قاعده و ارتفاع در نظر می‌گیریم.
در این سوال گفته شده که اندازه وتر مثلث ۶ واحد است. از آنجایی که مثلث قائم الزاویه دارای محور تقارن است، دو ضلع دیگر (قائده و ارتفاع) برابر هستند و می‌توانیم آن‌ها را با \( a \) نمایش دهیم.
طبق قضیه فیثاغورس داریم:
\[
c^2 = a^2 + a^2
\]
که در اینجا \( c \) همان وتر (۶) و \( a \) ضلع‌های مثلث هستند. این رابطه را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:
\[
6^2 = 2a^2
\]
که از آن به دست می‌آوریم:
\[
36 = 2a^2 \Rightarrow a^2 = 18 \Rightarrow a = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}
\]
حالا که ابعاد دو ضلع مثلث را پیدا کردیم، می‌توانیم مساحت مثلث را محاسبه کنیم. فرمول مساحت مثلث قائم الزاویه به صورت زیر است:
\[
\text{مساحت} = \frac{1}{2} \times \text{قاعده} \times \text{ارتفاع}
\]
در اینجا قاعده و ارتفاع هر دو برابر با \( a \) هستند:
\[
\text{مساحت} = \frac{1}{2} \times a \times a = \frac{1}{2} \times (3\sqrt{2}) \times (3\sqrt{2}) = \frac{1}{2} \times 18 = 9
\]
بنابراین مساحت مثلث برابر با ۹ واحد مربع است.
