برای حل معادله \(2x^2 + 4x - 1 = 0\) به روش مربع کامل، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:
1. ابتدا ضریب \(x^2\) را به 1 تبدیل می‌کنیم. برای این کار، دو طرف معادله را بر 2 تقسیم می‌کنیم:
\[
x^2 + 2x - \frac{1}{2} = 0
\]
2. جمله \(-\frac{1}{2}\) را به طرف راست معادله منتقل می‌کنیم:
\[
x^2 + 2x = \frac{1}{2}
\]
3. مقدار لازم برای تشکیل مربع کامل را پیدا می‌کنیم. برای این کار، ضریب \(x\) را نصف کرده و مربع آن را محاسبه می‌کنیم:
\[
\left(\frac{2}{2}\right)^2 = 1
\]
4. عدد 1 را به هر دو طرف معادله اضافه می‌کنیم تا مربع کامل تشکیل شود:
\[
x^2 + 2x + 1 = \frac{1}{2} + 1
\]
5. حالا طرف چپ معادله را به شکل مربع کامل می‌نویسیم:
\[
(x + 1)^2 = \frac{3}{2}
\]
6. از هر دو طرف معادله جذر می‌گیریم:
\[
x + 1 = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}
\]
7. مقدار \(x\) را به دست می‌آوریم:
\[
x = -1 \pm \sqrt{\frac{3}{2}}
\]
بنابراین، جواب‌های معادله عبارتند از:
\[
x_1 = -1 + \sqrt{\frac{3}{2}}, \quad x_2 = -1 - \sqrt{\frac{3}{2}}
\]
